Gravidade e Relatividade de Einstein A Derivação da Fórmula da Força Gravitacional Usando a Relatividade de Einstein

 

Gravidade e Relatividade de Einstein

A Derivação da Fórmula da Força Gravitacional Usando a Relatividade de Einstein

A teoria da Relatividade Geral (RG), proposta por Albert Einstein em 1915, representa a descrição atual da gravidade na física moderna. Ela generaliza a Relatividade Especial e refina a lei da gravitação universal de Newton. Ao contrário da visão newtoniana da gravidade como uma força que atrai objetos com massa, a RG descreve a gravidade como uma propriedade geométrica do espaço e do tempo, unificados no conceito de espaço-tempo quadridimensional. Nesta teoria, a curvatura do espaço-tempo é diretamente influenciada pela presença de energia e momento, englobando tanto a matéria quanto a radiação. Essa relação é precisamente quantificada pelas Equações de Campo de Einstein. As Equações de Campo de Einstein constituem um sistema complexo de equações diferenciais parciais de segunda ordem que descrevem como a distribuição de massa-energia curva o espaço-tempo.  

A transição da gravidade como uma força para a gravidade como a curvatura do espaço-tempo representa uma mudança conceitual profunda na física. Essa nova perspectiva implica que a própria estrutura do universo é dinâmica e interage com a matéria e a energia, ditando o movimento dos objetos através do espaço. A teoria newtoniana da gravidade, embora extremamente bem-sucedida em muitas aplicações, apresentava limitações, especialmente em regimes de campos gravitacionais fortes e altas velocidades. Einstein percebeu que a consistência com sua teoria da Relatividade Especial exigia uma nova descrição da gravidade. Ele postulou que a gravidade não era uma força que se propagava instantaneamente, mas sim uma manifestação da geometria do espaço-tempo, influenciada pela presença de massa e energia. Essa ideia revolucionária levou à formulação da Relatividade Geral.

A Relatividade Especial (RE), publicada por Einstein em 1905, estabeleceu dois postulados fundamentais: a invariância das leis da física em todos os referenciais inerciais e a constância da velocidade da luz no vácuo para todos os observadores, independentemente do movimento da fonte. Uma das consequências mais famosas da RE é a equivalência entre massa e energia, expressa pela equação $E=m{c}^2$. Essa relação fundamental implica que massa pode ser convertida em energia e vice-versa, desempenhando um papel crucial na compreensão da fonte da gravidade na RG. A RE descreve o comportamento de objetos em referenciais inerciais (não acelerados) e não incorpora os efeitos da gravidade. Ela revolucionou os conceitos de espaço e tempo, mostrando que eles não são absolutos, mas relativos ao observador. A RE introduziu o conceito de espaço-tempo como uma entidade quadridimensional, onde as três dimensões espaciais e a dimensão temporal estão intrinsecamente ligadas. Essa unificação foi essencial para o desenvolvimento da RG, que descreve a gravidade como uma curvatura nesse espaço-tempo.  

A Relatividade Especial forneceu a base conceitual e matemática para a Relatividade Geral. A constância da velocidade da luz como um limite universal e a equivalência massa-energia são princípios fundamentais que foram incorporados e generalizados na teoria da gravidade de Einstein. A ideia de espaço-tempo como uma entidade unificada foi um passo crucial para entender como a gravidade poderia ser descrita geometricamente. Einstein percebeu que a teoria da gravidade de Newton era inconsistente com os princípios da Relatividade Especial. Por exemplo, a lei de Newton implica que a força gravitacional se propaga instantaneamente, o que viola o limite de velocidade da luz estabelecido pela RE. Para resolver essa inconsistência, Einstein buscou uma nova teoria da gravidade que fosse consistente com os princípios da RE e que pudesse explicar fenômenos que a teoria de Newton não conseguia.

O Princípio da Equivalência (PE) é um dos pilares da Relatividade Geral, estabelecendo uma profunda conexão entre gravidade e aceleração. Ele afirma que os efeitos da gravidade são indistinguíveis dos efeitos da aceleração. O PE se manifesta em duas formas principais: o Princípio da Equivalência Fraco (PEF) e o Princípio da Equivalência de Einstein (PEE). O PEF declara que a massa inercial (a resistência de um objeto à aceleração) e a massa gravitacional (a propriedade de um objeto que determina a força gravitacional que ele exerce e sente) são idênticas. Essa equivalência implica que todos os objetos, independentemente de sua massa ou composição, caem com a mesma aceleração em um dado campo gravitacional. O PEE afirma que, em regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, os efeitos de um campo gravitacional são indistinguíveis dos efeitos de estar em um referencial acelerado na ausência de gravidade. Consequentemente, qualquer experimento não gravitacional realizado em um laboratório em queda livre produzirá os mesmos resultados que seriam obtidos em um laboratório inercial no espaço vazio.  

O Princípio da Equivalência levou Einstein à percepção crucial de que a gravidade não deveria ser vista como uma força fundamental, mas sim como uma manifestação da curvatura do espaço-tempo causada pela presença de massa e energia. A observação de que a massa inercial e a massa gravitacional são iguais, um fato experimental bem estabelecido, intrigou Einstein. Ele percebeu que essa igualdade sugeria uma conexão fundamental entre gravidade e inércia. A ideia de que um observador em queda livre não sente seu próprio peso, assim como um astronauta em órbita, reforçou essa conexão. Einstein então formulou o Princípio da Equivalência, que se tornou a base para sua teoria geométrica da gravidade.  

Na Relatividade Geral, a presença de massa e energia não apenas atrai outros objetos, mas também distorce ou curva o tecido do espaço-tempo ao seu redor. Quanto maior a massa ou a energia, maior a curvatura do espaço-tempo. O movimento de qualquer objeto no espaço-tempo é determinado por essa curvatura. Em vez de serem puxados por uma força gravitacional, os objetos se movem ao longo do caminho mais curto possível entre dois pontos no espaço-tempo curvo, chamados geodésicas. Essa perspectiva explica por que todos os objetos caem com a mesma aceleração em um campo gravitacional. Eles estão simplesmente seguindo as geodésicas no espaço-tempo curvo criado pela massa do corpo que está causando o campo gravitacional. Portanto, na Relatividade Geral, a gravidade não é mais vista como uma força fundamental, mas sim como uma manifestação da geometria do espaço-tempo. A "força" gravitacional que percebemos é uma consequência do nosso movimento através desse espaço-tempo curvo.  

A descrição da gravidade como curvatura do espaço-tempo oferece uma explicação elegante e unificada para uma ampla gama de fenômenos gravitacionais. Ela elimina a necessidade de uma força gravitacional misteriosa que atua à distância e a substitui por uma descrição geométrica do movimento no espaço-tempo. A analogia de uma bola de boliche colocada em um trampolim é frequentemente usada para ilustrar a curvatura do espaço-tempo. A bola de boliche cria uma depressão no trampolim, e se você rolar uma bolinha perto dela, a bolinha será desviada em direção à bola de boliche, não por uma força direta, mas seguindo a curvatura do trampolim. Da mesma forma, os planetas orbitam o Sol porque estão seguindo as geodésicas no espaço-tempo curvo criado pela massa do Sol.

A relação precisa entre a curvatura do espaço-tempo e a distribuição de massa-energia é dada pelas Equações de Campo de Einstein (ECE). Essas equações são o cerne matemático da Relatividade Geral e descrevem como a presença de matéria e energia molda a geometria do espaço-tempo. Na sua forma mais comum (com constante cosmológica Λ=0), as ECE são escritas como: $R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$. O tensor de Ricci (Rμν​) descreve a parte da curvatura do espaço-tempo que tende a mudar o volume de uma pequena bola de partículas teste. O tensor métrico (gμν​) codifica a geometria do espaço-tempo, incluindo as distâncias e os ângulos. O escalar de Ricci (R) é a traça do tensor de Ricci e representa a curvatura total do espaço-tempo em um ponto. O tensor de energia-momento (Tμν​) descreve a densidade e o fluxo de energia e momento em cada ponto do espaço-tempo. G é a constante gravitacional de Newton e c é a velocidade da luz no vácuo. As ECE são um sistema de dez equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem para as dez componentes independentes do tensor métrico gμν​. A não linearidade das equações reflete o fato de que o próprio campo gravitacional carrega energia e momento e, portanto, também contribui para a curvatura do espaço-tempo.  

As Equações de Campo de Einstein são a formulação matemática precisa da ideia de que a gravidade é a curvatura do espaço-tempo causada pela massa e energia. Elas estabelecem uma relação dinâmica entre a geometria do universo e seu conteúdo material, permitindo prever o comportamento da gravidade em uma ampla gama de situações. Einstein buscou uma teoria da gravidade que fosse consistente com a Relatividade Especial e que pudesse explicar os fenômenos gravitacionais de uma forma mais fundamental do que a lei de Newton. As Equações de Campo de Einstein foram o resultado dessa busca, representando uma descrição geométrica da gravidade onde a curvatura do espaço-tempo é diretamente proporcional à densidade de energia e momento.

O tensor de energia-momento (Tμν​) desempenha um papel fundamental nas Equações de Campo de Einstein, atuando como a fonte da curvatura do espaço-tempo. Ele é um tensor de segunda ordem que descreve a densidade e o fluxo de energia e momento em cada ponto do espaço-tempo. O tensor de energia-momento é uma generalização do conceito de densidade de massa da física newtoniana e inclui contribuições de todas as formas de energia, incluindo a energia de repouso (dada por $E=m{c}^2$), a energia cinética, a pressão e o estresse. Ele também descreve o fluxo de momento, representando a quantidade de movimento que atravessa uma determinada área por unidade de tempo. Na Relatividade Geral, o tensor de energia-momento é considerado simétrico ($T_{\mu \nu }=T_{\nu \mu }$), o que reflete a conservação do momento angular. Além disso, a divergência covariante do tensor de energia-momento é zero (${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$), o que expressa a lei de conservação local da energia e do momento. Diferentes formas de matéria e energia possuem diferentes expressões para o tensor de energia-momento. Por exemplo, para um fluido perfeito, o tensor de energia-momento é dado por $T_{\mu \nu }=(p+\rho )U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu }$, onde p é a pressão, ρ é a densidade de energia e Uμ​ é a quadrivelocidade do fluido.  

O tensor de energia-momento unifica os conceitos de energia, momento, pressão e estresse em uma única entidade matemática que serve como a fonte do campo gravitacional na Relatividade Geral. Ele demonstra a profunda interconexão entre a geometria do espaço-tempo e o conteúdo físico do universo. Na teoria de Newton, apenas a massa é considerada a fonte do campo gravitacional. Na Relatividade Geral, Einstein percebeu que, devido à equivalência massa-energia, todas as formas de energia deveriam contribuir para a gravidade. O tensor de energia-momento foi introduzido para formalizar essa ideia, incorporando não apenas a densidade de massa-energia, mas também outras formas de energia e o momento, como as fontes da curvatura do espaço-tempo.

Um critério fundamental para a validade da Relatividade Geral é sua capacidade de se reduzir à bem-sucedida teoria da gravidade de Newton em regimes onde os campos gravitacionais são fracos e as velocidades dos objetos envolvidos são muito menores do que a velocidade da luz. Esse limite é conhecido como limite newtoniano. No limite newtoniano, o espaço-tempo é considerado aproximadamente plano, e a métrica do espaço-tempo pode ser aproximada pela métrica de Minkowski (ημν​) com pequenas correções devido ao campo gravitacional. O tensor métrico gμν​ pode ser escrito como $g_{\mu \nu }\approx {\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$, onde $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ representa uma pequena perturbação. Ao aplicar essas aproximações às Equações de Campo de Einstein e considerando apenas termos de primeira ordem em hμν​ e em baixas velocidades, as equações de campo se reduzem à equação de Poisson para o potencial gravitacional newtoniano (ϕ): ${\nabla }^2\varphi =4\pi G\mu$. A componente g00​ do tensor métrico no limite newtoniano é dada por $g_{00}\approx 1+\frac{2\varphi }{c^2}$. Essa relação conecta o potencial gravitacional newtoniano com a geometria do espaço-tempo na Relatividade Geral.  

A demonstração de que a Relatividade Geral se reduz à gravidade newtoniana no limite apropriado é crucial para sua aceitação como uma teoria física válida. Ela mostra que a teoria de Einstein não invalida a teoria de Newton, mas a engloba como uma aproximação precisa em condições onde os efeitos relativísticos são desprezíveis. A teoria de Newton da gravidade foi extremamente bem-sucedida em descrever o movimento dos planetas e outros fenômenos gravitacionais por mais de dois séculos. Portanto, qualquer nova teoria da gravidade deveria ser capaz de reproduzir esses sucessos no regime onde a teoria de Newton é conhecida por funcionar bem. Einstein mostrou que, sob certas aproximações (campos gravitacionais fracos e velocidades baixas), as Equações de Campo de Einstein se reduzem à lei da gravitação de Newton, garantindo a consistência com a física clássica.

Para entender a dedução da "força" gravitacional na Relatividade Geral, é útil considerar uma solução exata das Equações de Campo de Einstein: a métrica de Schwarzschild. Essa métrica descreve a geometria do espaço-tempo ao redor de um objeto massivo, esférico, não rotativo e sem carga, no vácuo. Em coordenadas de Schwarzschild (t,r,θ,ϕ), a métrica é dada por: $d{s}^2=-(1-\frac{2GM}{c^{2}r})c^{2}d{t}^2+(1-\frac{2GM}{c^{2}r}{)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$. Aqui, G é a constante gravitacional de Newton, M é a massa do objeto e c é a velocidade da luz. O termo $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ é o raio de Schwarzschild. A métrica de Schwarzschild é uma solução estática e esfericamente simétrica das Equações de Campo de Einstein no vácuo. Para grandes valores de r, a métrica de Schwarzschild se aproxima da métrica de Minkowski.  

A métrica de Schwarzschild é uma solução fundamental em Relatividade Geral, pois descreve o campo gravitacional de muitos objetos astronômicos em uma primeira aproximação. Ela também é essencial para a compreensão dos buracos negros e de outros fenômenos gravitacionais em campos fortes. Resolver as Equações de Campo de Einstein é geralmente uma tarefa muito difícil devido à sua não linearidade. A métrica de Schwarzschild foi a primeira solução exata não trivial encontrada para essas equações e representa o campo gravitacional externo de um objeto esférico não rotativo. Sua simplicidade e sua relevância para muitos sistemas físicos a tornam uma ferramenta essencial no estudo da Relatividade Geral.

Na Relatividade Geral, a noção de "força" gravitacional é substituída pela ideia de que os objetos se movem ao longo de geodésicas no espaço-tempo curvo. No limite newtoniano, podemos recuperar a lei da força gravitacional de Newton a partir da métrica de Schwarzschild. Para derivar a aceleração de uma partícula em um campo gravitacional descrito pela métrica de Schwarzschild, podemos analisar a equação geodésica para o movimento de uma partícula teste. A equação geodésica descreve a trajetória de uma partícula que se move apenas sob a influência da gravidade. Considerando o movimento de uma partícula em repouso a uma grande distância r de um objeto massivo M, a aceleração radial da partícula, derivada da equação geodésica na métrica de Schwarzschild, se aproxima da aceleração gravitacional newtoniana dada por $a=-\frac{GM}{r^2}$. Essa derivação envolve a análise dos símbolos de Christoffel, que são derivados da métrica e descrevem a curvatura do espaço-tempo. Ao inserir a métrica de Schwarzschild nos símbolos de Christoffel e na equação geodésica, e ao considerar o limite newtoniano, obtemos a lei da gravitação de Newton.  

Embora a Relatividade Geral não postule uma "força" gravitacional no sentido newtoniano, ela reproduz os resultados da lei da gravitação de Newton no limite apropriado. Isso demonstra a consistência entre as duas teorias e mostra como a descrição geométrica da gravidade na RG se manifesta como a força familiar da gravidade em situações cotidianas. A derivação da lei de Newton a partir da métrica de Schwarzschild envolve mostrar que a aceleração de uma partícula teste em um campo gravitacional fraco e lento, conforme previsto pela RG, é a mesma que a aceleração prevista pela lei de Newton. Isso é feito através da análise da equação geodésica na métrica de Schwarzschild e da identificação dos termos que correspondem à força gravitacional newtoniana no limite apropriado.

Em conclusão, a Relatividade Geral oferece uma descrição fundamentalmente diferente da gravidade em comparação com a teoria de Newton. Em vez de uma força que atua à distância, a gravidade é entendida como a curvatura do espaço-tempo causada pela presença de massa e energia, conforme descrito pelas Equações de Campo de Einstein. A métrica de Schwarzschild, uma solução dessas equações para um objeto esférico não rotativo, permite analisar o movimento de partículas em seu campo gravitacional. No limite onde os campos gravitacionais são fracos e as velocidades são baixas, a Relatividade Geral se reduz à lei da gravitação de Newton, demonstrando sua consistência com a física clássica em seu domínio de aplicabilidade. A dedução da aceleração gravitacional newtoniana a partir da métrica de Schwarzschild, através da análise da equação geodésica, ilustra como a teoria de Einstein engloba e generaliza a descrição da gravidade fornecida por Newton. Os efeitos da Relatividade Geral, como o desvio da luz e a precessão da órbita de Mercúrio, fornecem evidências adicionais da precisão e da profundidade da teoria de Einstein na descrição da força gravitacional como uma manifestação da geometria do espaço-tempo.